
م. الف. علايي
چنان که دست مرورگر ايام کتاب تاريخ علم را ورق بزند، در صفحات اوليه به موضوع رياضيات برخورد خواهد کرد. تولد ديرباز رياضي در دامان تفکر انساني که معلم اول او جهان پيرامونش بود، اين نتيجه را به ذهن جست وجوگر متبادر مي کند که گويي طبيعت به زبان رياضي با او حرف مي زد.1
انسان وقتي به مرحله هوشمندي رسيد2 ديگر همچون حيوانات در پي همزيستي صرف با طبيعت نبود بلکه دغدغه يي در او شکل گرفته بود که شايد بتوان نام آن را «کمال گرايي» گذاشت. او در حالي که روي زمين زندگي مي کرد، سوداي آسمان را داشت و ستارگان را شکار مي کرد و گرچه اسير دستان پرزور طبيعت بود، انديشه غلبه بر نيروهاي آن را در سر مي پروراند. او که از سال ها قبل در پي تمرين و يادگيري فنون بود، اندک اندک فنومن (پديده)ها را توصيف و تبيين مي کرد تا گويي راهي به سوي علوم مختلف باز کند.3 ابتداي شکل گيري با جامعه کشاورزي- دامپروري، بشر بيشتر محتاج دانش هايي چون هندسه4 براي اندازه گيري زمين،5 تعيين مرزها و اشکال آن و مساحي اراضي قابل کشت بود يا اينکه جهت سرشماري احشام خود نياز به عددگذاري (شمارش) و علم حساب داشت و از اين جهت دانش رياضيات بسيار ديرينه است.
بي ترديد بشر از طريق مفهوم انتزاع با نشانه گذاري آشنا شد6 و علائمي چون اشکال هندسي،7 اعداد و الفبا را طرح کرد. «پيدايش عدد ناشي از تجربه پديده هاي متشابه براي وي بود. يک سيب، يک گاو يک سنگ چيزهاي متفاوتي بودند که ذهن او به مفهوم مشترک «يک» در ميان آنها پي برد. همچنين درخت سرو، درخت سيب و... را مي ديد اما خود «درخت» که در دنياي خارج او وجود نداشت، مفهومي مجرد بود که منجر به پيدايش کلمات براي وي گرديد.»
انسان به مرور پس از شناخت اشيا و حوادث پيرامون و توصيف پديده ها به دنبال تبيين جهان هستي رفت و پا به وادي فلسفه گذاشت8 که خود انتزاعي بود. از اين رو فلسفه از ابتدا با رياضيات خويشاوندي نزديک پيدا کرد و دانستن علمي چون هندسه، فرض مسلمي بود که براي شخص «دوستدار دانايي»9 از سوي جناب افلاطون تکليف شد. بر اين پايه، تفکر انسان در نقش عضوي از طبيعت او و بالطبع ارتباطي که با دنياي هندسي پيرامون داشت، مشمول بهره مندي از قوانين رياضي شد و ذهنيت آدمي از منطقي برخوردار شد که مي توانست با رياضيات مدل بندي شود.10 مي دانيم منطق که به چارچوب درست انديشيدن تعبير مي شود، در شکل رياضي خود به زباني تکلم مي کند که در آن، استنتاج نمادي از صورت تفکر است نه ماهيت آن.11 براي همين آدمي از سوي جناب ارسطو در مقام حيوان ناطق و به نمايندگي از انسان منطقي معرفي شد. روي هم رفته بشر در هزاره اول ميلادي به اين نتيجه نائل شد که رياضيات پايه فلسفه و منطق را تشکيل مي دهد اما اينکه رياضيات وي بر چه پايه يي بنا شده و منطق حاکم بر رياضي چيست12 خود فلسفه يي جداگانه مي طلبيد که بيشتر در هزاره دوم ميلادي تحت مبحث «فلسفه رياضي» مورد بررسي قرار گرفت.
در «فلسفه رياضي» ديدگاه ها و مکاتب مختلفي وجود دارد. از جمله اينکه در باور «حقيقت گرايان» (همچون افلاطون) حقايق رياضي (مثل اعداد) مستقل از پژوهش هاي ما در جهان فراحسي هستي دارند و تنها با خرد بدان ها مي توان پي برد. در مقابل آنان نظر «واقع گرايان» (که نسبت به ذات مجرد اعداد نامساعد نيست) اين است که اعداد مثل واقعيات عيني هستي دارند و صرفاً ساخته و پرداخته ذهن نيستند و وظيفه ما کشف و تبيين اين اشياي هستي دار است نه آفرينش و اختراع آنها.
در مکتب «منطق گرايي» رياضيات وامدار منطق بوده و مفاهيم رياضي قابل تحويل و برگردان به آن است. بدين نحو، در نگاه منطق گرا رياضيات شاخه يي از منطق در نظر گرفته مي شود. سردسته اين افراد را بزرگاني چون فرگه، وايتهد و راسل تشکيل داده اند. در نگاه «صورتگرايان» که واضع آن هيلبرت است، رياضيات صرفاً محاسبات يا برهان هايي است که با پيروي از قوانين اصل موضوعي روي نمادهاي صوري (همچون اعداد که معناي خاصي ندارند) انجام گرفته و نتايجي به دست مي دهد. اما در ديدگاه شهودگرايي13 که غير از اشراق فلسفي يا عرفاني است، اعتقاد به مفاهيم و قضاياي قابل تجربه مستقيم (مشاهده) وجود دارد. به طور نمونه، شهودگرا «برهان خلف» و هر استدلال غيرمستقيم ديگر را نمي پذيرد بلکه در جست وجوي قضاياي ساختني و اثبات هاي مستقيم است. بر اين اساس، از مکتب شهودگرايي گاهي با نام ساختگرايي14 ياد مي شود. شهودگرايان- يعني بروئر و پيروان او- آغاز رياضيات را از دنباله اعداد طبيعي مي دانند (که درک آنها بر اساس حس جهانشمول شهود صورت مي گيرد) در حالي که منطق گرايان نظريه مجموعه ها و صورتگرايان دستگاه اصل موضوعي را مبناي رياضي قرار مي دهند. مختصر آنکه در سير تاريخي ابتدا مکاتب منطق گرايي و صورتگرايي سر برآوردند که بعدها با شکست مواجه شدند و شهودگرايي که متاخرتر بود، با انتقاداتي چند مواجه شد که ذکر اين همه از حوصله بحث خارج است.
به مرور در برابر مکاتب فلسفي ياد شده انديشه يي شکل گرفت که سعي داشت رياضيات را از قالب «مطلق صحيح» يا «حق محض» بيرون آورد و آن را به عنوان يک پديده انساني تاريخي- اجتماعي- فرهنگي نشان بدهد.
اين جنبش که ويتگنشتاين و لاکاتوش به شروع آن کمک کردند، معروف به فلسفه «خطاگراي رياضي» است و دانش رياضيات را تا ابد چه در برهان ها و چه در مفاهيمش قابل تجديدنظر مي داند. يکي از شريان هاي اصلي فلسفه خطاگرا، انسانگرايي15 است که به عنوان يک مکتب جديد توسط «روبن هرش» در اوايل دهه 1980 ميلادي معرفي شد. در اين ديدگاه، اشياي رياضي پديده هايي اجتماعي فرض مي شود و رياضيات از اين حيث علمي تجربي است که با خطاها و اشتباهات هر دوران به وجود مي آيد و با تصحيح و بازسازي در طول تاريخ پيشرفت مي کند.
شايد تعجب کنيد که در گذشته هاي دور اقوامي بودند که براي آنها 2«2 برابر 5 بود زيرا آنها اعداد را به صورت گره هايي روي طناب نشان مي دادند و براي جمع دو عدد طناب ها را به هم گره مي زدند. در واقع رياضيات با توجه به شرايط اجتماعي شکل مي گيرد و متاثر از شرايط فيزيکي، زيستي و فرهنگي حاکم بر جامعه است.»
شايان ذکر است که مکتب انسانگرايي در فلسفه رياضي قرن بيستم غير از مکتب انسانگرايي (اومانيسم) در دوره رنسانس است، چرا که در اولي به نوعي ذهنيت فرد انسان، محور بحث است و در دومي بشرخواهي و جمعيت. مفهوم نخست معطوف به دانش بشر است و دومي در حوزه هاي مذهب و اجتماع طرح مي شود.
اکنون از آنجا که در پي نوشت ها با ذکر جمله يي از دکتر محسن هشترودي- (1355-1286 هـ.ش)- يادي به ميان آمد، مناسب است نقطه نظرات فلسفي ايشان در باب رياضيات را مرور کنيم تا اينکه جايگاه رياضيدانان معاصر کشورمان هم در اين بين مشخص باشد و در بررسي مکاتب فلسفه رياضي صرفاً اسامي افراد بيگانه را دوره نکرده باشيم.
آن مرحوم در يکي از کتاب هاي خود 16 به نوعي بر جمله ارشميدس که گفته «علم تجربي است و بايد تجربي تدريس شود»17 تاکيد کرده، رياضيات را علمي تجربي و اثبات قضايا را در پي تجربه هاي صورت گرفته مي داند. کمااينکه براي اثبات همگرايي سه ميانه مثلث در يک نقطه، رسم آنها را مقدم مي شمارد و وسايل تجربه در دانشي چون جبر را حروف و عبارات برمي شمارد. اين در حالي است که مرزبندي رياضيات به قديم و جديد را نمي پذيرد چرا که تجربه گري بشر را کهنه و نو نمي داند و بدين وسيله قدمت دانش رياضي را به اندازه تاريخ حيات آدمي از فجر انديشه بشر به حساب مي آورد.18 با اين شيوه به نظر مي رسد ايشان در جرگه رياضيدانان انسانگرا قرار مي گيرد. هرچند خود را در مقايسه با منطق گرايان و صورتگراها بيشتر شهودگرا مي دانست، شايد به آن دليل که استدلال را با وجود کمک به پيشبري رياضيات به عنوان اساس و پايه در آن قبول نداشت 19و20 بلکه محوريت بحث او پيرامون تجربي بودن دانش رياضي بود.21 او تجربه را به دو دسته «تجربيات عملي» و «تجربه هاي احساسي» تقسيم مي کرد که دسته اول همان هايي هستند که بناي هر آزمايشي بر آنها استوار است اما در دسته دوم، احساس و حضور ذهن شخص دخالت دارد و از وسيله يي براي آزمايش در آنها استفاده نمي شود. براي مثال قانون سبک شدن اجسام در مايعات توسط تجربه احساسي و استدلالات ارشميدس به دست آمد، در حالي که ترازوي معروف او 1700 سال بعد ساخته شد و کار وي عملاً مورد تجربه قرار گرفت.22 دکتر هشترودي در جايي ديگر نيز تصريح مي کند که احکام رياضي برخلاف تصور همه (در تمام زمان ها) مطلق نبوده و نسبي هستند. به اين ترتيب دانش رياضي را «حق محض» ندانسته و خود را در نحله فکري انسانگرايان بيشتر جاگير مي کند.غ12ف
مي دانيم که انسانگرايي به دانش رياضيات به عنوان بخشي از فرهنگ و تاريخ بشر مي نگرد و آن را در سير تاريخي مطالعه مي کند لذا به نظر، مکتبي مناسب حال آموزش است23 چرا که به قول فيليپ ديويس؛ «ايده افلاطون گرايان که في المثل عدد پي را آسماني مي دانستند، رياضيات را ترسناک و دور از دسترس مي سازد24 و صورتگرايي که نگاهي مبتني بر فرمول ها و الگوريتم ها دارد، رياضيات را خسته کننده و تنفرآميز جلوه مي دهد.» شايد به همين دليل، دکتر هشترودي در آموزش رياضيات به نحوي جذاب و قابل فهم، چه در کلاس هاي درس و چه در سخنراني ها و مصاحبه هاي متعدد خود (به طور کلي در عمومي سازي رياضيات)، موفق بوده است25 چرا که باور «خشک و سخت بودن» رياضي را از ميان مي برد و در کلام او رياضيات شکلي ملموس 26 و زيبا به خود مي گرفت.
اين نتيجه گيري بيراه نيست چرا که نوعي شباهت بين کار رياضيدان و هنرمند از گذشته هاي دور وجود دارد.27
اينکه هر دو کارشان تخيل و خلاقيت28 است و به قول هاردي «هم رياضيدان و هم نقاش، نقش پرداز هستند.»
«اين است که هر رياضيداني قوه تصور قوي تري داشته باشد، رياضيات زيباتري ارائه مي دهد چرا که ابداعات اساسي رياضي وامدار خلاقيت او هستند و استدلال هاي او پيرانده هستند تا آفريننده.» توصيه هاي بزرگاني چون پوانکاره که گفت؛ «رياضيدان کامل بايد تا حدي شاعر باشد» و بيان دکتر هشترودي که «هر شاعري بايد تا حدي رياضيدان باشد» کنايه از ريشه هاي مشترکي از رياضيات و هنر است. شايد اين سوال مطرح شود که هنر در پي زيبايي است ولي رياضيات چه؟ اما آيا تقارن، تناسب و هماهنگي، ترکيب و همبستگي، نظم و ترتيب، سادگي اثبات ها و روش ها و... در رياضيات ما را به زيبايي رهنمون نمي کند؟ 29 هميلتون جمله مناسبي در اين رابطه دارد که؛ «هنر و رياضيات همانند يکديگرند زيرا در هر دو تقارن، تناظر و تطابق وجود دارد.»
اکنون به ابتداي مقال بازمي گرديم. هزاره هاي اوليه تقويم تمدن بشري صفحات زيادي را به تلاش ها و مناقشات رياضي اختصاص داده است. با اين وجود سرآغاز هزاره هاي جديد (2000 ميلادي) «سال جهاني رياضيات» لقب گرفت. اين خود گواه روشني بر اين مدعاست که رياضيات در نقش يک دانش بنيادي و محمل نظري همواره مورد استفاده غالب معاريف بشر (همچون فلسفه، علوم و هنرها) در تمامي ادوار تاريخ است و شخص رياضيدان سهم بسزايي در پيشبرد آنها و مشخص کردن فوايد رياضيات در اين بين برعهده دارد همان گونه که مرحوم دکتر هشترودي در اين زمينه تلاش هايي داشت.30 روحش شاد.
ہ در جهت تفکيک مفهوم «رياضيات انسانگرا» از «اويائيسم» مصطلح، توضيحاتي در متن داده شده است.
پي نوشت ها؛------------------------
1- گاليله در دوران نوزايي اروپا گفته بود فلسفه در کتاب عظيم طبيعت نوشته شده است ولي تنها کسي از آن سر درمي آورد که زبان و نشانه هاي آن را ياد بگيرد زيرا اين کتاب به زبان رياضي نوشته شده و نشانه هاي آن دستورهاي رياضي هستند.
2- انسان هوشمند (نئاندرتال) حدود 35 هزار سال قبل ناپديد شد اما بعدها انسان هوشمند هوشمند پديدار شد. با اين وجود، انسان کاردان و انسان راست قامت به ترتيب در 5/2 و 2 ميليون سال گذشته پديدار شده بود.
3- تاريخ پيدايش فن دو ميليون سال قبل از علم تخمين زده مي شود و اوج فناوري بشر ابتدايي همانا کشاورزي است.
4- به ظاهر ريشه کلمه هندسه از «اندازه» به معناي اندازه گرفته شده است.غ3ف
5- دقت کنيد به کلمه Geometry به معناي هندسه.
6- انگلس عقيده دارد بين انسان و حيوان همه گونه اعمال عقلاني مشترک است. استقرا، قياس، استنتاج و تجريد. صفت مميزه تفکر در آدمي کارايي نشانه گزيني است. يعني او مي تواند تفکراتش را در قالب نشانه ها ابراز داشته و نظام دهد.
7- اشکال هندسي که ريشه در مشاهدات بشر داشت، در طبيعت پيرامون او به نحو کامل وجود نداشت و في المثل مثلث واقعي در کجاي اين عالم قابل لمس بود؟
8- برتراند راسل گفته؛ «انسان که به فلسفه پرداخت، هم نياز به علم را احساس کرد و هم نياز به عرفان را» که تعبير جالبي است چرا که به قول دکتر علي شريعتي؛ «از نخستين روزهاي تاريخ... انسان خود را از اين عالم بيشتر مي يافته و مي يافته است که آنچه هست او را بس نيست... عرفان تجلي التهاب فطرت انساني است که خود را اينجا غريب مي يابد و با بيگانگان که همه موجودات و کائنات اند، همخانه» به بيان ديگر بشر (کمال گرا) که روحيه علمي و عرفاني داشت به مرور فلسفي شد.
9- به قول سقراط «فيلوسوفيا».
10- مرحوم دکتر محسن هشترودي جمله يي در اين رابطه دارد که؛ رياضيات قانون تفکر است.
11- به همين دليل است که به منطق رياضي «منطق صوري» گفته مي شود چرا که در آن ظرف جاي مظروف را مي گيرد.
12- يعني اساساً نحوه برخورد با مباني رياضيات چيست و به طور نمونه اينکه آيا اعداد کشف شدند يا اختراع؟ فوريه عقيده دارد؛ تعمق در طبيعت، پربارترين منابع اکتشافات رياضي است. از سوي ديگر پوپر بر اين باور است که؛ رديف پايان ناپذير اعداد طبيعي، اختراع انسان و نتيجه يادگيري شمارش است و لذا اعداد طبيعي وجود مستقل ندارند چرا که مي دانيم قبايل بدوي اين عددها را نمي شناختند و تنها با کلمات يکي، چندتا و خيلي حساب مي کردند.
13- Intuitionism
14- Constructivism
15- Humanism
16- صفحات 21-20 و 73.
17- صفحه 69 همان کتاب.
18- «رياضيات هر عصر آئينه تمدن آن است... تاريخ تحول فرهنگي و تجدد انديشه با تاريخ پيشرفت رياضي همزبان است» صفحه 232.
19- سخنراني منطق رياضي در برنامه مرزهاي دانش راديو در سال هاي قبل از پيروزي انقلاب اسلامي.
20- از ايشان نقل شده است که؛ «بي نهايت حس تجربي براي بشر نبود بلکه تجربه حسي او بود.» اين نشان مي دهد که استاد مفهوم بي نهايت را مي پذيرد و با مکتب شهودگرايي- که بي نهايت را (به دليل تضاد با خود) قبول نمي کند- فاصله مي گيرد.
21-ايشان در صفحات 73 و 81 سفارش مي کنند؛ «بايد در محصل احساس سوال ساده از طبيعت کردن را به وجود آورد و طريق استدلال به وسيله تجربه عملي يا احساسي را به او آموخت. مخصوصاً رياضيات علمي تجربي است و کهنه و نو ندارد... تئوري گروه ها در دانشگاه ها تدريس مي شود بدون اينکه دانشجو آن را از نظر تجربي احساس کرده باشد و اصولاً بداند کجاي پاي جبر و آناليز و حساب لنگ بوده است که گروه ها وارد رياضيات شده اند.»
22- صفحه 71.
23- يکي از دلنشين ترين شيوه هاي آموزش رياضي تعليم همزمان آن با تاريخ رياضيات است، همان طور که مرحوم دکتر محسن هشترودي، مرحوم دکتر غلامحسين مصاحب، دکتر احمد شرف الدين، دکتر پرويز شهرياري و برخي ديگر، توصيه ها و تلاش هايي در اين رابطه دارند.
24- اين مضمون به نوعي يادآور شعري از مرحوم قيصر امين پور است که مطلع آن عبارت است از؛ پيش از اينها فکر مي کردم خدا/ خانه يي دارد ميان ابرها...
25- به شهادت شاگردان، همکاران و نيز مخاطبان سخنراني هايش.
26- همواره اين پرسش براي ما پديد مي آيد که کاربرد مفاهيم محض و مجرد رياضي کجاست؟ لذا از اصولي که رياضي را دلچسب مي کند غير از چاشني هنري در طرح مسائل آن، ارائه کاربردهاي اين دانش است. از اين نظر دکتر هشترودي رياضيات را به صورت الگويي از دنياي فيزيک ارائه مي داد زيرا به قول ايشان بايد فهميد که ممر عمل رياضيات چيست و چگونه از تجربه کردن مي توان به نتيجه کليت بخشيد.
27- رياضي و موسيقي به ترتيب از قديمي ترين دست يافته هاي بشرند. جمله معروفي است که مي گويد؛ «رياضي موسيقاي خرد و موسيقي رياضيات دل است». ژان ديودنه کتابي تقريباً با همين عنوان تاليف کرده است.(Mathematics, the music of reason)
28- امروزه بر ما مشخص است که خلاقيت ها به دو نوع رياضي و هنري قابل تقسيم اند که اولي به نيمکره راست مغز و دومي به نيمکره چپ مغز مرتبط هستند.
29- به قول استاد هنرمند دکتر عباس جمال پور در برنامه «دو قدم مانده به صبح» شبکه 4 سيما؛ زيبايي يعني تطبيق و سازگاري نسبت هاي موجود در جهان با ذهن انسان. ملاحظه مي شود که تعريف اين هنرمند عزيز خود اسلوبي رياضي دارد.
منابع؛
1- فلسفه، اخلاق و رياضيات، پرويز شهرياري، انتشارات پژوهنده، چاپ اول، تهران 1380
2- علم، شبه علم و علم دروغين، ترجمه عباس باقري، نشر ني، چاپ اول، تهران 1379
3- نظريه پردازي و معرفت شناسي... هادي سودبخش، روزنامه اطلاعات، 26/2/1384
4- ليبرنتيک و حافظه، ترجمه غلامرضا جلالي نائيني، انتشارات رز، چاپ دوم، 1354
5- منطق- فلسفه- مرتضي مطهري، انتشارات صدرا، چاپ سي و هفتم، 1386
6- منطق رياضي، محمد اردشير، انتشارات هرمس، چاپ اول، تهران 1383
7- فرزانگي در آئينه زمان، شيوا کاوياني، انتشارات نگاه، چاپ اول، تهران 1380
8- فلسفه رياضي، محمدصالح مصلحيان، انتشارات واژگان خرد، چاپ اول، مشهد 1384
9- سير انديشه بشر، محسن هشترودي، انتشارات توکا (آزاده)، چاپ اول، تهران 1356
10- مجله رياضي يکان، ويژه نامه آذرماه 1355
11- دانش و هنر، محسن هشترودي، انتشارات دهخدا، چاپ دوم، تهران 1350
12- مصاحبه روزنامه کيهان با دکتر هشترودي،
8/4/1355
13- کوير (مقاله انسان خداگونه يي در تبعيد)، علي شريعتي، انتشارات قلم
14- جستارهايي در اينترنت.